Mathematica

ماشین حسابهای معمولی محاسبات را با دقت معینی انجام می دهند . ( به طور تقریبی تا 10 رقم ده دهی ) ، اما در نرم افزار Mathematica  نتایج را می توان تا دقت خیلی بالا با تعداد ارقام اختیاری نمایش داد .

مقدار تقریبی expr را می دهد .....N[expr]

مقدار عددی expr را تا n رقم به طور تقریبی می دهد ..... N[expr,n]

پیش فرض 5 رقم اعشاری است .

مثال  :

نمایش مقدار تقریبی عدد پی تا 20رقم ..... N[pi,20]

3.14159265358979323846

نمایش حاصل جمع 5/2 با 10/3 به صورت کسر متعارفی .... 5/2+10/3

35

__

6

نمایش جواب نمادی قبل به صورت اعشاری ..... N[%]

5.83333

در mathematica   دسته وسیعی از توابع می باشند که برخی از آنها عبارتند از :

ریشه دوم x:..... Sqrt[x]

تابع نمایی : ..... Exp[x]

فاکتوریل عدد n: .....n!

لگاریتم طبیعی و لگاریتم در مبنای bعدد مثبت x:..... Log[x],Log[b,x]

مثال  :

محاسبه مقدار تقریبی رادیکال 2 تا 10 رقم با معنی .

N[sqrt[2],10]

1.414213562

توابع مثلثاتی و معکوس آنها

Sin[x] , cos[x] , Tan[x] , Cot[x] , Sec[x] , Csc[x] , ArcSin[x] , ArcCos[x] , …

توابع هیچربویک و معکوس آنها

Sinh[x] , Cosh[x] , Tanh[x] , Coth[x] , Sech[x] , Csch[x] , Arcsinh[x] , ArcCosh[x] , …

نکاتی در مورد توابع در Mathematica

-     نام همه توابع با حروف بزرگ شروع می شوند و در توابع چند قسمتی شروع هر قسمت نیز با حروف بزرگ می باشد ، مانند Sin[x]  و ArcSin[x] و ... .

-          آرگومانهای توابع داخل براکت *[]* قرار دارد ، مانند Sin[x] و f[x]  و ...

-          آرگومان توابع مثلثاتی بر حسب رادیان محسوب می شود .

مثال  :

Sin[Pi/2]+Sin[8.4]

1.8543

-          اگر جلوی آرگومان ، Degree قرار دهید ، آرگومان بر حسب درجه منظور می شود .

-          هرگاه آرگومان در دامنه تعریف تابع نباشد ، پیام خطا یا خود دستور را دریافت خواهید کرد .

برخی دیگر از توابع خاص عبارتند از :

تابع جزء صحیح ، بزرگترین عدد صحیح نابیشتر از x  ..... Floor[x]

تابع کوچکترین عدد صحیح بزرگتر از x ..... Ceiling[x]

تابع قدر مطلق x  ..... Abs[x]

تابع علامت ، 1 برای x>0 و 1- برای x<0  و 0 برای x=0 ..... Sign[x]

تابع ، نزدیکترین عدد صحیح به x ..... Round[x]

مثال  : با فرض x=3.14 می خواهیم مقادیر x ، [x] و  را در یک مجموعه نمایش دهیم :

X=3.14;

{x,Floor[x],Round[x]}

{3.14,3,3}

نرم افزار Mathematica  برخی از اعمال نظیر خارج قسمت ، باقیمانده ، مقسومعلیه ها و ... را با دستورات زیر تعیین می کند :

محاسبه باقیمانده تقسیم m بر n  ..... Mod[m,n]

محاسبه خارج قسمت تقسیم m بر n ..... Questient[m,n]

تعیین مقسوم علیه های عدد n ..... Divisors[x]

ب.م.م اعداد n1  و n2  و ........  GCD[n1,n2,…]

ک.م.م اعداد n1  و n2 و ........ LCM[n1,n1,…]

نمایش k امین عدد اول ..... Prime[Range[k]]

True عدد n  عدد اول باشد ، در غیر این صورت False  ..... PrimeQ[n]

تجزیه n  به اعداد اول را نمایش می دهد . FactorInteger[n]

توجه : اگر در نمایش اعداد در محاسبات از علامت ممیز " . "  استفاده شود محاسبات با اعداد حقیقی انجام می شود .

یکی از ویژگی های مهم Mathematica این است که می تواند محاسبات نمادی را همانند اعداد انجام دهد . یعنی می توانیم عملیات روی عبارات جبری را به خوبی انجام دهیم .

مقدار دهی

در expr  به جای x  ،  value جایگزین می شود expr  ..... expr/.x->value

چندین جایگزینی با هم .....expr/.{x->xval,y->yval,…}

بسط expr .....Expand[expr]

تجزیه expr به عوامل اول ..... Factor[expr]

ساده کردن expr ..... Simplify[expr]

بسط (ab)c  و (ab)c در expr ..... PowerEcpand[expr]

باقیمانده تقسیم expr1  بر expr2 ..... PolynomialMod[expr1, expr2]

خارج قسمت تقسیم expr1  بر expr2 بر حسب x ...... PolynomialQuotient[expr1, expr2,x]

باقیمانده تقسیم expr1 بر expr2 بر حسب x ..... PolynomialRemainder[expr1 , expr2 , x]

ک.م.م عبارات expr1  و expr2 ، ........ PolynomialGCD[expr1,expr2,…]

ب.م.م عبارات expr1  و expr2 ، ........ PolynomialLCD[expr1,expr2,…]

مقسوم علیه های expr ..... PolynomialDivision[expr]

Mathematica می تواند جواب معادلات ، نامعادلات و دستگاه معادلات را به طور دقیق تا چندمین رقم با معنی تعیین کند ، همچنین می تواند با تقریب اولیه جواب ، به جواب تقریبی مناسب دسترسی پیدا

کند .

مقدار x را در y جایگزین می کند . ( جایگزینی ) .....x=y

اگر x با y برابر باشد True ؛ در غیر اینصورت False . ( تساوی منطقی ) ..... x==y

حل معادله lhs=rhs نسبت به x ..... Solve[lhs==rhs,x]

در expr به جای x جواب را قرار می دهد ..... expr/.solution

توجه : هر گاه درجه چند جمله ای از 3 بیشتر باشد ، چون روشی صریح برای حل آن موجود نیست ، جوابی به صورت نمادی دریافت می کنیم .

محاسبه تقریب جوابهای عدیی چند جمله ای Poly=0 ..... NSolve[Poly==0,x]

محاسبه جواب تقریبی تا n رقم با معنی ..... ,x],n]0==N[NSolve[Poly

توجه : برای حل معادلات غیر جبری از قبیل مثلثاتی ، لگاریتیمی ، نمایی و ... از دستور FindRoot استفاده می شود .

حل دستگاه چند معادله چند مجهولی بر حسب مجهولات x و y و ...

Solve[{Lhs==rhs1,Lhs2==rhs2,…}, {x,y,…}]

حل equs بر حسب همه مجهولات موجود آن ..... Solve[equs]

توجه : اگر مجهولات مشخص نشوند ، دستور Solve معادلات را بر حسب همه متغیرها حل می کند .

توابع را می توان در Mathematica تعریف نمود ، شکل توابع را به خوبی رسم نمود و همچنین عملیات روی توابع از قبیل مقدار دهی ، ترکیب توابع ، و ... را به راحتی انجام داد .

تابع f(x) با ارزیابی بلافاصلهbody.....=body f[x_]

تابع f(x) با ارزیابی تأخیری body  تعریف می شود ..... f[x_]:=body

تعریف تابع را نمایش می دهد ..... ?f

تعریف تابع را پاک می کند ..... Clear[f]

تعریف تابع f(x) روی دامنه Domain با عبارت body .....body f[x_/;domain:]=

در زیر چند دستور مقدماتی برای رسم توابع ارائه شده است .

رسم تابع f(x)  در فاصله a<=x<=b ..... Plot[f,{x,a,b}]

رسم تابع f(x) ،  در فاصله a<=x<=b با انتخاب option مناسب ..... Plot[f,{x,a,b},option->value]

رسم چند تابع f1 , f2 و ... با هم در فاصله a با option مناسب

..... Plot[{f1,f2,…},{x,a,b},option->value]

 مثال :

Mathematica  می تواند به آسانی ترکیب توابع fog=f(g(x)) را انجام دهد .

Fog ، ترکیب توابع f  و g  با متغیرx  ..... Composition[f,g][x]

ترکیب f ، n  بار با خودش .....Nest[f,x,n]

توابع مثلثاتی در قسمت توابع ریاضی تعریف شده اند . در Mathematica میتوان توابع مثلثاتی را بسط داد ، فاکتور گرفت ، معادلات و دستگاه معادلات مثلثاتی را حل نمود .

نمایش expr بر حسب sin2x و غیره .....Expand[expr,Trig->True]

نمایش expr بر حسب sin²x و غیره..... Factor[expr,Trig->True]

همچنین می توان مقادیر توابع مثلثاتی ، معکوس توابع مثلثاتی ، نمودار آنها و دیگر محاسبات مثلثاتی را با Mathematica بدست آورد .

حل معادلات و دستگاه های مثلثاتی ، لگاریتمی و نمایی را با روش سریع نمی توان در Mathematica بدست آورد ، برای تعیین جواب از روش عددی استفاده می کنیم که جواب تقریبی خیلی دقیقی بدست می دهد .

جستجو برای تعیین جواب معادله lhs==rhs ، شروع با یک مقدار تقریبی x=x0 ..... FindRoot[lhs-==rhs,{x,x0}]

جستجو برای ریشه یابی equ با دو مقدار اولیه x0 و x1 ( زمانی که مشتق equ به طور صریح تعیین نمی شود مورد استفاده قرار می گیرد . ).....

FinRoot[equ,{x,x0,a, b}]

جستجو برای ریشه یابی equ با یک مقدار اولیه x0 در فاصله [a,b] .....

FindRoot[equ,{x,x0,a,b}]

جستجو برای تعیین جواب های x و y و ... دستگاه با تقریب های اولیه x0, y0 و ...

FinRoot{equ1,equ2,…},{x,x0},{y,y0},…]

در این قسمت محاسبات لگاریتمی ، حل معادلات و دستگاه معادلات لگاریتمی را بررسی می کنیم .

Lnx : لگاریتم طبیعی ..... Log[x]

لگاریتم x در مبنایb  ..... Log[x,b]

توجه : برای استفاده از قوانین لگاریتم باید ابتدا در محیط Mathematica این قوانین را تعریف کرده ، سپس مورد استفاده قرار داد .

تعریف قانون لگاریتم حاصلضرب ..... Log[x_*y_]:=log[x]+log[y]

 تعریف قانون Lnxn=nLnx ( به توان n) ..... log[x_^n_]=n*log[x]

توجه : برای حل معادلات لگاریتمی و نمایی از دستور FindRoot استفاده می شود .

گزاره عبارتی است که خبری را بیان می کند و این خبر درست یا نادرست است ، در منطق فازی احتمال درستی فاصله [0,1] است . برای درستی و نادرستی ارزش یک گزاره در Mathematica می توان از عملگر های رابطه ای و عملگرهای منطقی استفاده نمود .

عملگر های رابطه ای

نامساوی….. x!=y

کوچکتر..... x

کمتر یا مساوی..... x<=y

مساوی .....x==y

بزرگتر ..... x>y

بزرگتر یا مساوی ..... x>=y

عملگر های منطقی

نقیض p  ..... !p

(p^q) و (and) ..... p&&q

(pvq)  یا (or) ..... p||q

یا انحصاری ( مانع جمع ) ..... Xor[p,q,…]

اگر p درست باشد then در غیر این صورت else ..... If[p,then.else]

بسط عبارت منطقی expr ..... LogicalExpand[expr]

اگر expr صحیح باشد True در غیر این صورت False ..... TrueQ[expr]

True اگر lhs  rhd همانند باشند در غیر  این صورت False.....Lhs===rhs یا Same[lhs,rhs]

True اگر lhs و rhs  ناهمانند باشند در غیر این صورت False .....

Lhs=!=rhs یا UnSame[lhs,rhs]

ارزیابی تا زمانی که یکی از عبارتنها False  باشد ..... expr1,&&expr2&&

ارزیابی تا زمانی که یکی از عبارتها True باشد ..... expr1||expr2||

یک مجموعه عبارت است از یک گردآیه از اشیاء متمایز ، مشروط بر اینکه این گردایه مشخص باشد .

مجموعه A با عضو های a,b,c  ..... A={a,b,c}

اجتماع مجموعه های A,B,… ..... Union[A,B,…]

اشتراک مجموعه های A,B,… ..... Intersection[A,B,…]

مکمل A نسبت به M یا M-A  ..... Complement[M,A]

مکمل A  و B و ... نسبت به M  ..... Complement[M,A,B,…]